Nimm博弈

说明

有三堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆取任意多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。

结论:当每堆石头取异或之后,不为0代表着必胜态。为0代表着必败态。

证明:

  1. 最后的状态,全为零,显然成立;
  2. 对于某个局面(a1,a2,...,an),若a1^a2^...^an<>0,一定存在某个合法的移动,将ai改变成ai'后满足a1^a2^...^ai'^...^an=0。不妨设a1^a2^...^an=k,则一定存在某个ai,它的二进制表示在k的最高位上是1(否则k的最高位那个1是怎么得到的)。这时ai^k<ai一定成立。则我们可以将ai改变成ai'=ai^k,此时a1^a2^...^ai'^...^an=a1^a2^...^an^k=0。
  3. 对于某个局面(a1,a2,...,an),若a1^a2^...^an=0,一定不存在某个合法的移动,将ai改变成ai'后满足a1^a2^...^ai'^...^an=0。因为异或运算满足消去率,由a1^a2^...^an=a1^a2^...^ai'^...^an可以得到ai=ai'。所以将ai改变成ai'不是一个合法的移动。证毕。

解题

每一堆的石子的数量的异或和不为零时先手必胜,否则先手必败。

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